医療系のアルバイトはできないのでしょうか？

シドニー近郊であれば可能です。病院・ナーシングホーム等で良い時給で働くことができます。しかしメルボルン近郊では医療関係の規制により病院でボランティアするのですら難しいです。州・都市によって状況は異なりますが、基本的に医療系のアルバイトは給料が良いため、現地でも倍率が高く、シドニーのように国際的な地域のため留学生に理解があって、更に医療施設がたくさん建っている場所でないと難しいと思われます。