「OETなら最短で20週間、長くても1年～1年半で看護師登録できる」と言われましたが本当ですか？

可能性はありますが、個人の英語力によります。OETの規定が変更する前であれば、今よりもその可能性も高かったかも知れませんが、今となっては正直難しいと思います。